Sistemas, Caos y Fractales

03/01/2010
Sistemas, Caos y Fractales
Dr. Rubens Arizmendi
Autor: 
Dr. Rubens Arizmendi
Systems Engineer, Expert in Mathematics, Computation and Systems. Ingeniero de la Universidad de Montevideo-Uruguay. Studies in M.I.T. (USA). Doctor of Science in Information Systems Engineering, Tecana American University.

Para iniciar el abordaje de la Teoría del Caos en el presente artículo, voy hacer referencia al siguiente texto de Begoña Toribio, publicado en el blog “EL CAÓTICO” y titulado “Del Amor al Caos”:

Alguna vez, alguno de vosotros se ha preguntado si, en un momento dado, en uno de estos siglos en los que tantas guerras han asolado tantos lugares y sesgado tantas vidas llenas de amor, todo el mundo, todos nosotros, cada alma en cada rincón de cualquier parte, se enamorase perdidamente de alguien. Sería lo más hermoso del mundo y, al menos esto pensamos, lo esperado por todos como una forma de salvarnos a nosotros mismos de nuestra propia destrucción. El amor salvará a nuestras almas del fin de nuestras vidas. ¿Nos equivocamos al pensarlo?

 

Yo digo que sí

Imaginaos por un momento que todos nos enamoramos de alguna persona. Pero esa persona está enamorada de otra, y que esa otra a su vez, está enamorada de alguien. Y así sucesivamente... hasta cubrir a toda la Humanidad. Sí, sí, todos estamos enamorados, PERO NADIE ES CORRESPONDIDO. Todos damos amor, pero no lo recibimos, al menos de la persona que nos gustaría.

Entonces, si nuestras relaciones se basaran en el amor... ¿cuántas parejas habría? Ninguna, porque no hay nadie que se ame realmente. Y ¿la supervivencia del ser humano? La raza humana no se puede extinguir, así que comenzarían a formarse las llamadas “parejas de conveniencia”. Cada uno podría hacer lo que quisiera con su cuerpo, entonces no habría tampoco prostitución. ¿Qué sería? ¿Una necesidad básica humana? Digamos que sí, y zanjemos el asunto, no quiero pensar en lo que se puede convertir la humanidad.

Y, ¿celos? ¿Habría mucha gente celosa? Todos. ¿Por qué? Esa persona a la que amamos no se fija en nosotros sino en quien hay más allá, y arderíamos de celos. ¿No ves que me muero de amor por ti? La única solución que encuentro para que dejes de amarle... es que desaparezca de tu mirada y se pierda de mi vista. Acabaré con su vida… si antes no acaba conmigo la persona que está enamorada de ti y que piensa que la única forma que dejes de mirarme sea desapareciéndome de su vista.

 

¿Es éste el final de la Humanidad?

A la luz de esta narración de un suceso fingido, es posible entrar en nuestro tema dada la semejanza incuestionable con los hechos y tópicos matemáticos y físicos que abordaremos en la Teoría del Caos. (Pero, como ejercicio, desarrolle y razone estos casos: a) que nadie mate a nadie, b) que el sexo sea indistinto en cada ciclo y siguientes, c) que cumpliéndose lo anterior algún celoso(a) mate al correspondiente de la siguiente pareja, d) que las personas se integren una por una ó ambas a la vez, con distinto o igual sexo, a la serie del modelo.

 

Estructuras no-caóticas y caóticas

Comencemos por los Sistemas Dinámicos, a los cuales se refieren las áreas de la Matemática y la Física bajo la denominación de “Teorías del Caos”, analizando ciertos tipos de comportamientos impredecibles en dichos sistemas que como su nombre lo dice, presenta cambio o evolución de su estado a lo largo del tiempo. Pueden resultar: Estables, cuando tienden hacia un punto (u órbita), Inestables, cuando una mínima diferencia en sus condiciones iniciales pueda hacer evolucionar al sistema de modo distinto, hacia cualquier lado, ó Caóticos, cuando sus variaciones son de tal complejidad que no permiten ninguna predicción valedera.

Aceptemos que el conjunto sugerido por Begoña es Estable pues su ámbito de aplicación y espacio de estados posibles se mantienen fijos, sin fuerzas que los alejen de ellos o ejerzan “atracción” sobre ellos. Pero ante esta expresión, cuando el lector analizó los ejercicios a), b), c), d), todos o algunos, y tal vez otros que se le ocurrieran, trajo al escenario un nuevo actor: el ATRACTOR.

 

Hablemos de Atractores

Según las trayectorias que él o los atractores provoquen o modifiquen se clasifican en: Periódicos o Erráticos (también estos últimos se llaman Extraños). En el sistema del ejemplo intervienen como atractivos el amor y el desamor, que determinan ciclos muy precisos y bien definidos (una persona que ama, otra que no le ama pero que se vincula con la siguiente a la cual ama), y así sucesivamente, en una trayectoria de lógica matemática recorriendo una serie infinita y predecible en el ejemplo. Una trayectoria numérica isomorfa sería tomar un primer elemento = 3 y continuar con números que dividen por 3 al anterior, (seguirán 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81), el atractor periódico es “Dividir por 3 al anterior”. No hay atractor extraño y el conjunto no tiene fin. Los atractores extraños pudieron deducirse de los ejercicios sugeridos antes.

También se define al atractor geométricamente como un punto, una curva, una variedad de puntos ó un conjunto complicado de estructuras cuyas trayectorias no tienen –aunque puedan– que satisfacer ninguna propiedad especial, excepto la de permanecer en el atractor, sin salirse de sus límites. ya que es parte del espacio de las distintas fases por las que atraviesa el sistema. En los atractores clásicos las trayectorias de las órbitas convergen en un punto único, que será un estado estacionario, pero también podrían no cerrarlo y mantenerle ciclando indefinidamente.

Los atractores actúan tanto en sistemas dinámicos continuos como en los discretos. Comúnmente se considera al atractor como un conjunto cerrado formado por los puntos de acumulación o convergencia de las órbitas que lo componen y cuyos valores tengan definición de Límites entre Cero e Infinito para cualquier conjunto invariante de los valores de la función que domina o dirige al sistema. Un sistema dinámico se califica como “discreto” si el tiempo en que se desarrolla se mide en pequeños lapsos; si es medido según una variable continua será “continuo”.

También se analizan los sistemas dinámicos “lineales” y “no lineales”, ambos representados por ecuaciones, que como tales serán lineales según la expresión de su variable “x”. Los no lineales son los más proclives a comportamientos totalmente impredecibles, y Henri Poincare planteó que en ellos el caos es imprescindible por naturaleza.

Tomamos a continuación de Lucía Fraca de Barrera en “La Ciberlingua” el siguiente texto:

“Posteriormente, Lorenz, basándose igualmente en cálculos matemáticos, determinó el llamado “efecto mariposa” y finalmente, Illya Prigogine, Premio Nobel de Química 1997, señaló que el mundo natural no sigue estrictamente un modelo exacto, de reloj, sino que presenta aspectos caóticos. De esta manera. La noción de caos se instala en la Ciencia, y los investigadores, tanto sociales como naturales, comienzan a darle sentido al desorden y al caos como aspectos importantes dentro de la naturaleza física y humana. De este modo la visión “determinística” del Mundo queda derrumbada, pues el azar se revela y se erige como uno de los integrantes de la realidad, (Cazau 2004).

De acuerdo con los fundamentos de la Teoría del Caos, los organismos naturales o sociales son una mezcla de orden y desorden, y el universo funciona de tal manera que del caos “nacen” nuevas estructuras denominadas por Prigogine “disipativas”. Este proceso de reorganización se manifiesta mediante el ciclo orden/desorden/orden. Así mismo le interesa de qué manera y bajo qué condiciones ocurre este ciclo. Para ello la Teoría del Caos se vale de circuitos circulares o de bucles espirales, tomados de la Cibernética. Estos se originan y terminan cíclicamente, realimentándose, activa y retroactivamente. El ciclo se inicia a partir de un estado de equilibrio, de orden aparente. Este equilibrio se rompe, por algún algún elemento producto del azar y del aleas, creando desorden, caos y confusión. Estos a su vez son realimentados por fuerzas que hacen que se mantenga el caos, y por fuerzas que retroactivamente tienden hacia el ordenamiento. De allí que la organización como fuerza auto-reorganizadora, se re-estructure o cambie permitiendo de nuevo el estado de orden, de manera incierta”.

 

Conociendo mejor la Naturaleza

En las dos últimas décadas la Teoría del Caos se ha transformado, a una velocidad vertiginosa, en una de las áreas más vibrantes de la ciencia moderna. Hoy en día une a los científicos, desde los resultados de la más “pura” matemática – tales como la teoría de los números con topología- a la mayoría de las ramas de Física, Química, Biología, Medicina, quienes han roto su enclaustramiento en su especialidad, impulsados en su mayoría por la posibilidad de entender y manejar áreas de la Naturaleza y de la vida corriente que no entendíamos, procesos que se desarrollaban entre lo determinístico y aleatorio, impredecible o probabilístico. Se ha llegado a admitir que materia, tiempo y espacio están relacionados dinámicamente y que la noción de “espacio vacío” ya no existe pues la mecánica cuántica predice y confirma que las partículas salidas del vacío, que burbujea de energía, pueden empezar a existir espontáneamente, con un orden proveniente de un comportamiento caótico previo.

De modo que la Teoría del Caos, lejos de ser un retroceso del conocimiento de la Naturaleza es un maravilloso paso adelante y por tanto, un potencial control de ella. El ejemplo referido de Lorenz hizo visible la dependencia de los sistemas caóticos de las condiciones iniciales, mencionada igualmente en este trabajo. Comprobó que mínimas variaciones en las entradas se convertían en poco tiempo en grandes variaciones en las salidas, y lo denominó “efecto mariposa”, explicándolo así: “Si hoy una mariposa agita sus alas en Pekín puede cambiar el tiempo de Nueva York el mes que viene “verificando aquella relación de espacio, tiempo y materia ya mencionada. Se había introducido un atractor extraño que convirtió al sistema en Inestable.

 

Fractal, producto caótico y matemático

Beniot Mandelbrot matemático judío polaco, lo definió como “un objeto de tamaño y orientación variables y que en cada instante tiene un aspecto similar al anterior”. Se completa definiéndole como un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala, es decir una porción cualquiera seccionada de un fractal cuyo atractor lo amplía (o lo reduce sistemáticamente y debe ser visto bajo un magnificador o microscopio) resultará ser una réplica a distinta escala de la figura principal. Su nombre proviene de que en la mayoría de ellos su dimensión raramente puede expresarse como un entero sino por un fraccionario. (No Uni ni Bi ni Tridimensional). En su desarrollo a veces aparecen rasgos o patrones nuevos, dependiendo del tipo de fractal examinado y de la función matemática utilizada para producirlo.

Mandelbrot, principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza, publicó en 1982 su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional. Se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza, y sostiene que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta. (De Introduction to The Fractal Geometry of Nature).

 

Innumerables Campos de Aplicación

Cada día son más, y se hacen innumerables, los campos de aplicación de los fractales. Detallamos algunos: Sismología y tratamiento de imágenes, efectos especiales en el cine, transformación de rostros y figuras, paisajes, en la música crean el ritmo base de cualquier conjunto de notas, en el cuerpo humano hay muchos ejemplos de sistemas fractales como las redes vasculares o neuronales (de un cuerpo sanguíneo salen vasos sucesivamente menores hasta llegar a los capilares). En genética, de información simple surgen estructuras complejas, como la máquina IBM que puede averiguar hasta cualquier generación atrás de una persona.

Seguirían los ángulos alternados en una flor, polígonos en las hojas de un helecho, ni hablar sobre las flores, helicoides en el interior de una concha marina, en muchas partes del cuerpo humano, (no todos los pares de manos y rostros son simétricos pero hay asimetrías interesantes). Y es que las formas geométricas que representamos existen desde mucho antes en la Naturaleza, el Universo, y en nuestros cuerpos mismos.

Y en cuanto a su Antigüedad, se puede ver, y lo hemos verificado personalmente en los monumentos egipcios de 5000 años atrás, sus mensajes están llenos de polígonos, líneas paralelas en perfectos acordamientos con círculos, parábolas e hipérboles que los ingenieros aplicamos en los cruces de carreteras, las curvas de las esfinges de Karnak y en especial, las pirámides como la de Zoser, prototipo de las de Giza escalonadas en espiral, curva que se inicia en un punto central y se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él, y que fue testigo de los avatares de los hombres que debieron ir colocando piedra tras piedra en busca de la cima.

A la espiral no la origina la Humanidad, ni siquiera la Matemática, sino la Naturaleza. Se la califica como la curva de la Vida, o más precisamente del Crecimiento. Descartes inventó la espiral logarítmica y aunque la quiso grabada en su tumba por considerarla lo más maravilloso de su legado, se grabó por error la de Arquímedes, de origen trigonométrico pero con distancias constantes entre sus brazos.

Y aún, después de estas maravillas, seguimos necesitando mucho a lo caótico para sobrevivir a nuestro caos.